每日熱訊!轟動數學界的里程碑事件，究竟證明了什么

科普時報實習記者 都 芃

對于數論的研究者來說，或許存在兩個宇宙，一個宇宙中存在朗道-西格爾零點，另一個宇宙則不存在。但困惑在于，我們究竟存在于哪個宇宙中？美籍華裔數學家、加州大學圣塔芭芭拉分校教授張益唐或許已經就這個問題給出了初步的答案。11月8日，在面向北京大學師生和公眾的線上學術報告會上，張益唐講解了關于朗道-西格爾零點猜想的最新研究成果。

【資料圖】

令人著迷的素數

要理解朗道-西格爾零點猜想，首先要從素數開始講起。素數是指只能被自身和1整除的正整數。早在古希臘時期，人們就開始關注素數這類自然數中最基本而又神秘的“元素”。中國科學技術大學副研究員、知名科普專家袁嵐峰介紹，公元前300年左右，歐幾里得便通過十分簡潔、巧妙的方法證明了素數是無窮的。但人們又不禁發問，既然素數是無窮的，那么素數的分布是否有規律，我們是否可以寫出一個關于素數的通項公式？此后數千年間，歐拉、黎曼等知名數學家圍繞素數開展了一系列研究，誕生了如哥德巴赫猜想、孿生素數猜想、黎曼猜想等諸多舉世聞名的數學問題。

袁嵐峰表示，雖然這其中哥德巴赫猜想最為出名，但其主要得益于極簡的表現形式，能夠讓大多數人有所理解，而黎曼猜想才是所有關于素數的數學問題中最具價值的那一個。數學家黎曼在研究中發現，素數分布的奧秘完全隱藏在一個特殊的函數中，這就是著名的黎曼zeta函數。當這個函數取值為0時，一系列的特殊點會對素數分布的規律產生決定性影響，這一系列的特殊點也被稱為黎曼zeta函數的非平凡零點。如果用最簡潔的語言來解釋黎曼猜想，那便是黎曼zeta函數的所有非平凡零點的實部都等于1/2。

黎曼猜想被提出后，為了研究等差數列上的素數分布問題，德國數學家狄利克雷又引入了狄利克雷L函數，被看作是黎曼zeta函數的推廣形式。數學家們認為，狄利克雷L函數上的零點也都位于實部等于1/2的那條垂線上，這便是廣義黎曼猜想。

“保衛”黎曼猜想

雖然黎曼猜想和廣義黎曼猜想都未能得到充分證明，但數學家大多已經默認了其真實性。除了一個格格不入的“怪胎”的存在，仍讓人對這兩個猜想的正確性心生疑惑，那就是朗道-西格爾零點。德國數學家西格爾和其導師朗道在對狄利克雷L函數進行研究時發現，一個異常零點可能并不分布在那條實部為1/2的直線上。如果這個零點真的存在，那么廣義黎曼猜想和原始黎曼猜想都會在一定程度上被推翻。

張益唐此次的工作，正是在一定范圍內證明了該零點并不存在，一定程度上“保衛”了黎曼猜想的正確性。在張益唐給出的兩個定理中，一個定理的指數是-2024，如果能夠將其變成-1，那么就完全證明了朗道-西格爾零點猜想。但袁嵐峰告訴記者，-2024和-1已經沒有本質上的區別了，相比過去的證明結果，這已經是質的飛躍。

張益唐采用的論證方法，是數學中經典的“矛盾證明法”，也可以稱之為“反證法”。他先假設朗道-西格爾零點以弱形式存在，結果推導發現這會導致狄利克雷L函數中其他零點出現與實際情況不符的特征，于是可以由此反過來證明朗道-西格爾零點并不存在。袁嵐峰表示，雖然“反證法”已是數學中極為經典的方法，但張益唐將其應用到了極致，并給出了自己的創新，這將對解決其他數學問題給予啟發。

張益唐本人則表示，目前的研究成果只是在小范圍內證明朗道-西格爾零點猜想是對的，即該零點確實不存在，但其研究還需完善，下一步將繼續深化研究。

標簽： 狄利克雷 素數分布 哥德巴赫猜想