與兔子相關的三個數學問題

圖為“龜兔賽跑”悖論示意圖 蘇 靚 繪

1月21日就是大年三十，也即老百姓常說的除夕。過了這一天，虎年辭去，兔年來臨。兔年話兔，文壇習俗，我也免不了俗，就談談三個與兔子相關的數學問題吧。

(資料圖)

“雞兔同籠”問題

“雞兔同籠”是中國古代著名的數學趣題之一，載于大約公元四、五世紀成書的《孫子算經》。書中寫道：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”翻譯成白話文就是：“有若干只雞和兔關在同一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳。問籠子里有雞和兔各幾只？”

《孫子算經》作者給出了“上置”“下置”兩種解法，后人則找到了更多的有趣解法，如“假設法”“抬腿法”“砍腿法”“吹哨法”“列表法”“矩陣法”“雞翅法”等等。

如“假設法”：假設兔和雞都只有2條腿，則籠子里一共應該有35×2=70條腿，而兔子實際有4條腿，每只兔比雞多出2條腿，由多出的94-70=24條腿可知，籠子里共有24÷2=12只兔，因此雞有35-12=23只。

當然，如果你是一位初中生，運用代數方程組求解，問題那就再簡單不過了。“雞兔同籠”還可演進為變量不是整數或變量不止2個的幾十種同類問題，解題雖復雜一些，但思路卻大致相同。通過運用不同的方法解答不同的“雞兔同籠”問題，無疑可提高青少年在邏輯推理、數理演算等方面的能力。

“龜兔賽跑”問題

龜兔賽跑最早出自《伊索寓言》中的“烏龜與野兔”故事。該書相傳為公元前六世紀古希臘被釋放奴隸伊索編著，收錄了以各類動物為主角的寓言故事357篇。這個故事可謂家喻戶曉、中外皆知，它告誡人們謙虛勤勉將獲成功，驕傲自大必定失敗。

后人將這個寓言演繹成了一個邏輯悖論：如果烏龜先爬出一段距離，然后再讓兔子去追，那么，不管兔子跑多快，它永遠也追不上烏龜。古希臘的哲學家提出過一個著名的悖論——芝諾的烏龜，也被稱為“芝諾悖論”，只不過它把“龜兔賽跑”里的兔子換成了古希臘神話中善于跑步的神明阿基里斯。在芝諾的問題中，阿基里斯永遠追不上一只正常爬行的烏龜。

邏輯推理證明步驟如下：假設阿基里斯跑步的速度是每秒10米，烏龜爬行的速度是每秒1米，阿基里斯讓烏龜先爬100米再出發追趕；當他跑完100米后，烏龜已往前爬了10米；阿基里斯再往前追趕10米后，烏龜又向前爬行了1米……如此循環下去，無論阿基里斯怎么追趕，他都無法追趕上烏龜，因為烏龜總會制造出在阿基里斯前面的無數個新起點。實際情況當然不是這樣，我們由此可以發現形式邏輯存在的缺陷。

實際上，根據高等數學理論，在“龜兔賽跑”問題中，兔子與烏龜之間的起始距離是有限的，它們之間的距離無限縮小時，按照極限的定義，這個距離最終將等于零，因而兔、龜就會在某一時刻處在同一起跑點上，兔子和阿基里斯自然很快就追上烏龜了。

“兔子數列”問題

“兔子數列”又稱斐波那契數列，它由13世紀意大利數學家斐波那契提出，這個數列因以兔子繁殖為例而引入，故又被稱為“兔子數列”。

斐波那契的問題是：通常，兔子出生兩個月后就有繁殖能力，之后，一對雌雄兔子每個月就能生出一對小兔子來（假設也是一雌一雄）；如果所有的兔子都不死，那么一年以后，可以繁殖出多少對兔子？按照上述假設，一年也即12個月里，經繁殖后每月擁有的兔子數量（單位：對）分別是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。據此，斐波那契數列的通項公式可以如下定義：F（1）=1；F（2）=1；F（3）=2；F（4）=3……F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥3）。該數列有兩個明顯特點：一是從第三項開始，每一項的數字都等于前兩項的數字之和；二是當數列的個數趨向于無窮大時，后一項與前一項數字比值的小數部分就越來越逼近黃金分割比0.618。因此，斐波那契數列又被稱作黃金分割數列。

該數列在自然界里多有體現。比如，樹木新生的枝條往往需要“休息”一段時間才能萌發新枝，一株樹木各個年份生長出來的枝椏數，便構成了斐波那契數列。在現代物理、結構化學等領域，斐波那契數列也有直接的應用。1963年，美國數學會創辦了《斐波那契數列季刊》數學雜志，專門用于刊載這方面的研究成果。

沒想到，小小的一只兔子，竟和數學有著這么深的淵源。兔年將至，我們可得好好學習數學啰！古希臘數學家畢達哥拉斯曾說過“萬物皆數”，中國古代周公曾曰“大哉言數”，有感于斯，填《浪淘沙令》詞一首，以表情懷：“辭舊握新年，思緒翩躚。舞文玉兔競佳篇。錦上添花吸眼閱，選料當鮮。//算術悉心研，典故重編。邏輯數列理推連。極限方程欣解惑，學海無邊。”