曙光！Nature：牛頓遺留之謎“三體”難題迎新解

今年距牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中提出牛頓三定律的原型已經(jīng)過了近350年了。如今，“慣性”“作用力與反作用力”“F=ma”“動(dòng)量守恒定理”等著名的牛頓力學(xué)理論一直響徹初高中物理學(xué)的課堂。

而牛頓提出的眾多力學(xué)理論也統(tǒng)治著我們的宏觀世界，其中，牛頓提出的 “萬有引力定律” 也能解釋一些行星運(yùn)動(dòng)的問題。例如，高中課堂經(jīng)典模型——衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力。這是十分簡單的兩個(gè)物體之間的問題，我們采用受力分析和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析就能列方程求解。

但是現(xiàn)在如果出現(xiàn)第三個(gè)星體，我們也能列方程求解么?答案是能也不能，我們的確需要列方程求解，但是這個(gè)方程(組)卻也是十分難解出來的。

(來源：Wiki)

這就是著名的“三體問題(Three Body Problem)”。幾百年來無數(shù)的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家都嘗試求出該問題的解析解，但是都無功而返。

甚至在二十世紀(jì)的第一次數(shù)學(xué)家大會(huì)上，偉大的數(shù)學(xué)家大衛(wèi) · 希爾伯特(David Hilbert)在其演講中提出23個(gè)困難的數(shù)學(xué)問題，同時(shí)他也提出他所認(rèn)為的完美的數(shù)學(xué)問題。

他認(rèn)為這些問題既能被簡明清楚地表達(dá)出來，然而問題的解決又是如此的困難，以至于必須要有全新的思想方法才能夠?qū)崿F(xiàn)。對(duì)此，希爾伯特舉了兩個(gè)例子，一個(gè)是著名的費(fèi)馬大定理，而另一個(gè)則是 N 體問題的特例——三體問題。

不過，費(fèi)馬大定理于1995年由任教美國普林斯頓大學(xué)(Princeton University)的英國數(shù)學(xué)家安德魯 · 懷爾斯(Andrew Wiles)證明并發(fā)表其證明過程，許多數(shù)學(xué)家在證明費(fèi)馬大定理的過程中，催生了好幾種全新的數(shù)學(xué)思想，這也讓物理學(xué)界對(duì)于 “三體問題” 有著相同的期待。探索“三體問題”，也能夠在現(xiàn)實(shí)世界中幫助人類更好地研究星體系統(tǒng)的演化、衛(wèi)星發(fā)射、了解星體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)等。

圖丨 三體問題的運(yùn)動(dòng)微分方程組

就在2019年最后一個(gè)月，一個(gè)跨國的研究團(tuán)隊(duì)在 Nature 上刊登了他們關(guān)于 “三體問題” 的最新發(fā)現(xiàn)，在解決這一世界級(jí)無解難題方面邁出了一大步。

該團(tuán)隊(duì)由來自希伯來大學(xué)(the Hebrew University of Jerusalem)下設(shè)拉卡物理研究所(Racah Institute of Physics)的尼古拉斯 · 斯通博士(Dr. Nicholas Stone)領(lǐng)銜。

圖丨 Nicholas Stone(來源：希伯來大學(xué))

團(tuán)隊(duì)根據(jù)近兩個(gè)世紀(jì)的發(fā)現(xiàn)，推演出所謂的 “不穩(wěn)定三體系統(tǒng)” 將最終在其內(nèi)部排斥掉其中一個(gè)星體，并形成穩(wěn)定的雙星系統(tǒng)。

對(duì)于這樣的復(fù)雜演變及雙星系統(tǒng)的關(guān)系，研究團(tuán)隊(duì)做足了功課。首先，他們從最棘手的 “三體問題” 求解工具入手，他們認(rèn)為雖然 “三體問題” 的求解方程是十分復(fù)雜的，而初始條件設(shè)置的微小偏差就會(huì)造成結(jié)果的巨大差異，但并不是無從下手。與其使用多個(gè)初始條件來逼近，不如在 “各態(tài)歷經(jīng)假說(ergodic hypothesis)” 的大前提下，假設(shè) “三星系統(tǒng)” 作為一個(gè)孤立系統(tǒng)從任一初態(tài)出發(fā)，經(jīng)過足夠長的時(shí)間后將經(jīng)歷一切可能的微觀狀態(tài)，反過頭來在得到的所有可能結(jié)果中采用統(tǒng)計(jì)工具加以分析。

簡單來說，他們將 “混沌” 變成了統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并從中得出了最有可能發(fā)生的事情。

然后，他們選擇研究一種特殊的演化過程，如下圖所示，一個(gè)三星系統(tǒng)在歷經(jīng)所有可能的狀態(tài)之后，最終只剩下一個(gè)雙星系統(tǒng)和一個(gè) “逃逸” 的星體(escaper)。

而這張圖像極了一首情詩：

你帶著牽掛而來，而我只身前往

只希望能與你由初見之歡至處久不厭，

直到你將你的牽掛留在過去，與我相執(zhí)而行一起見證未來

圖丨 三星系統(tǒng)與最終形成的雙星系統(tǒng)演化示意圖(來源：Wiki)

對(duì)于這樣的結(jié)論，研究團(tuán)隊(duì)十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇硎荆麄兊慕Y(jié)論無法真正代表 “三體問題” 的正確解法，但是這樣的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論卻能幫助物理學(xué)家對(duì)復(fù)雜過程的推演。

斯通博士對(duì)此進(jìn)行更具體的分析：“就像三個(gè)黑洞互相環(huán)繞的系統(tǒng)一樣，就算它們最終演化成雙星系統(tǒng)，其軌道也一定是不穩(wěn)定的，我們對(duì)于演化后的雙星系統(tǒng)之間的關(guān)系也十分感興趣。”

圖丨三星系統(tǒng)舉例(來源：Wiki)

如同劉慈欣的 “三體” 小說中敘述一樣，三體星系是沒有天氣預(yù)報(bào)的，因?yàn)楦静恢烂魈斓降讜?huì)離哪個(gè)太陽近。“三體”中這一段敘述可以說是相當(dāng)準(zhǔn)確的，在三體星系中，唯一能確定的就是其 “不確定性”，而這個(gè)系統(tǒng)就是一個(gè)典型的“確定性混沌(deterministic chaotic)” 系統(tǒng)。

這樣的系統(tǒng)對(duì)于初始條件十分敏感，只要差一點(diǎn)，輸出的結(jié)果就會(huì)差異巨大，所謂“差之毫厘，謬以千里”。

這也是為什么我們不能用如今的計(jì)算機(jī)和傳統(tǒng)算法來求解 “三體問題” 的主要原因。

簡單來說，我們的計(jì)算機(jī)求解復(fù)雜數(shù)學(xué)方程的一般步驟是先用一個(gè)初始解帶入方程計(jì)算，得到并分析結(jié)果的差值，然后再進(jìn)行下一次的試解，并無窮逼近最終解。

這個(gè)方法能解方程的條件是每試一個(gè)解，得到的結(jié)果就更加接近預(yù)設(shè)值，但是對(duì)于“三體問題”，差很小，結(jié)果也會(huì)差很多，這就導(dǎo)致方程試解的時(shí)候不收斂，無法形成負(fù)反饋回路，無法逼近最終解。

迄今為止，我們能夠解出的 “三體問題” 都是有條件限制的，一共有16組。而在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)的 “三體問題” 存在的這種“運(yùn)動(dòng)不確定性”，也正在激勵(lì)著更多的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家投入到這個(gè)領(lǐng)域。

來自塞爾維亞的物理學(xué)家米洛萬 · 舒瓦科夫(Milovan Suvakov)和迪米特拉 · 什諾維奇(V. Dmitra Sinovi?c)于2013年利用自己獨(dú)特的方法和算法，一口氣發(fā)布了13組特解，可謂是計(jì)算機(jī)算法在 “三體問題” 算法的揚(yáng)眉吐氣，也讓我們有理由去相信，未來的計(jì)算機(jī)和算法也許真的有可能解出“三體問題”。

最后，我們?cè)俅畏钌弦粋€(gè) “三星系統(tǒng)” 的演示網(wǎng)站。