張卜天新譯著《現代數學的概念》（世界科普譯叢）

張卜天新譯著

作者：[英] 伊恩·斯圖爾特

第一章數學概論

(資料圖)

“現代數學的范圍之廣難以想象?！?/p>

——凱萊（A. Cayley），1883年的一次演講

我們的學校突然轉到“現代數學”，可能使人產生這樣的印象：數學已經失去了對其意義的控制，拋棄了所有傳統思想，取而代之的則是對人可能沒有任何用處的異想天開的古怪創造。

這幅圖像并不完全準確。據保守估計，現在學校里講授的“現代數學”的大部分內容已經存在了一個多世紀。在數學中，新觀念從舊觀念中自然地發展出來，隨著時間的推移被逐漸吸收。然而在學校里，我們同時引入了許多新概念，而幾乎沒有討論它們與傳統數學的關系。

抽象性和一般性

現代數學的一個更加引人注目的方面是漸趨抽象。每一個重要概念都包含不止一個對象，這些對象具有某種共同的性質。一種抽象的理論推導出關于這種性質的推論，然后可將這些推論應用于其中的任何對象。

例如，“群”這個概念可以應用于空間中的剛性運動、幾何圖形的對稱性、整數的加法結構，或拓撲空間中的曲線變形。共同性質是，特定類型的兩個對象結合可以產生另一個對象。兩個相繼進行的剛性運動產生一個剛性運動；兩個數之和是一個數；兩條曲線首尾相連形成另一條曲線。

抽象性和一般性是相輔相成的。一般性的主要優點在于省力。如果在一般條件下同一個定理一次就能得證，那么以不同的形式證明四次就沒有意義了。

現代數學的第二個特點是它依賴于集合論語言。這種語言通常只是用符號表達的常識罷了。數學，尤其是當它變得更為一般時，對特定對象的興趣要小于對整個對象集合的興趣。5=1+4并不特別重要。任何4n+1形式的質數都是兩個平方數之和，這一點很重要。后者談論的是所有質數的結合，而不是某個特定的質數。

集合（set）僅僅是聚集（collection）罷了：我們用一個不同的詞來避免與“聚集”一詞相關的某些心理意味。[1]集合可以以不同的方式進行組合，產生其他集合，就像數可以（通過加法、減法、乘法……）進行組合，產生其他數一樣。關于算術運算的一般理論是代數，因此我們也可以發展出一種關于集合論的代數。

與數相比，集合有一些優點，尤其是從教學的角度看。集合比數更具體。你不能把一個數拿給孩子看(“我手里拿著數3”)，但可以給他看若干個東西：3個棒棒糖，3個乒乓球。你會給他看一個關于棒棒糖或乒乓球的集合。雖然數學里感興趣的集合并不是具體的——它們往往是數的集合或函數的集合——但集合論的基本運算可以通過具體材料顯示出來。

對數學來說，集合論比算術更基本——盡管基本的東西并不總是最好的出發點——集合論思想對于理解現代數學是不可或缺的。因此，我在第四章和第五章討論了集合。在那之后，我會自由地使用集合論的語言，不過我會盡量只使用初等的集合論內容。過分強調集合論本身是錯誤的：它是一種語言，而不是目的本身。如果你對集合論了如指掌，而對其他數學一竅不通，那么你對別人沒有什么益處。如果你懂很多數學，但不懂集合論，你也許會取得很大成就。但如果你碰巧懂一些集合論，你對數學語言會有更好的理解。

直覺和形式主義

越來越大的一般性伴隨著越來越嚴格的邏輯標準。歐幾里得之所以現在受到批評，是因為他沒有一個公理說，經過三角形內一點的一條線必定會在某個地方與這個三角形相交。歐拉對函數的定義，即“用手自由繪制的曲線”，將不承認適合于數學家們希望用函數做的數學，而且無論如何，它太過模糊不清。（什么是“曲線”？）在這種事情上，一個人可能會做得過頭，用大量符號邏輯取代語詞論證，并通過盲目應用標準技巧來檢驗有效性。如果走得太過（在這種情況下過猶不及），就會破壞理解，而不是幫助理解。

要求更大的嚴格性并不只是一時興起。一門學科越復雜、越廣泛，采取一種批判的態度就越重要。一位社會學家若想理解大量實驗數據，就必須拋棄那些做得糟糕或者結論可疑的實驗。在數學上也是如此?！帮@而易見”往往被證明是錯誤的。存在著沒有面積的幾何圖形。根據巴拿赫（Banach）和塔斯基（Tarski）的說法，[2]可以把一個球體切成六塊，然后將各個球塊重新組裝成兩個球，每個球的大小都和原來的球一樣。從體積上看，這是不可能的。但這些球塊并沒有體積。

邏輯嚴格性提供了一種約束性的作用，在不安全的情況下或者在處理復雜的問題時非常有用。有些定理大多數專業數學家都相信必定為真，但除非得到證明，否則就是未被證明正確的假設，而且只能被用作假設。

在證明某種不可能的東西時也需要特別注意邏輯。用一種方法不可能完成的任務用另一種方法也許可以輕松完成，因此需要非常仔細的說明。人們已經證明，一般的五次方程沒有根式解，[3]角不能用尺規三等分。這些都是非常重要的定理，因為它們意味著某些途徑是不可能的。但要想確定這些途徑確實是不可能的，我們必須非常謹慎地對待我們的邏輯。

不可能性證明是數學的典型特征。數學幾乎是唯一能夠確定其自身局限性的學科。它有時是如此癡迷于不可能性證明，以至于人們更感興趣的是證明某種事情做不了，而不是弄清楚如何去做！如果自知是一種美德，那么數學家就是圣人。

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然而，邏輯并非一切。任何公式本身都無法暗示某種東西。邏輯可以用來解決問題，但無法暗示應當解決哪些問題。沒有人能把意義形式化。要想意識到什么東西是有意義的，你需要一定的經驗，外加一種難以捉摸的品質——直覺。

我無法定義我所說的“直覺”是什么意思。數學家（或物理學家、工程師或詩人）正是出于直覺才這樣做的。直覺賦予了他們對這門學科的“感覺”。有了直覺，他們無需給出形式上的證明就能看出某個定理為真，并且基于自己的眼光給出有效的證明。

實際上，每個人都有一定程度的數學直覺。玩拼圖游戲的孩子就有這種直覺。任何一個把全家的度假行李成功地裝進汽車后備箱的人都有。培養數學家的主要目標應該是把他們的直覺轉化成一種可控制的工具。

關于嚴格性和直覺的優劣短長，人們一直爭論不休。這兩個極端都沒有抓住要點：數學的力量恰恰在于直覺與嚴格性的結合。受約束的天才，有靈感的邏輯。我們知道，有些聰明人的想法從來都不太管用，有些秩序井然的人則因為過分井井有條而從未做出任何有價值的事情。這些都是需要避免的極端情況。

圖形

學習數學時，心理比邏輯更重要。我看過一些邏輯異常嚴格的講座，但沒有一個聽眾能聽懂。直覺應當優先，我們稍后可以用形式上的證明來支持它。直覺上的證明可以讓你理解為什么某個定理必定為真，而邏輯只是提供了可靠的理由來表明它是真的。

在接下來的各章中，我試圖強調數學的直覺一面。我沒有給出形式上的證明，而是試圖概述其背后的思想。在理想情況下，一本合適的教科書應當兼顧兩者，但很少有教科書能夠達到這一理想。

一些數學家（也許有10%）用公式思考，他們的直覺體現在公式中。其余的人則用圖形來思考，他們的直覺是幾何式的。圖形所承載的信息要比文字多得多。多年來，學校并不鼓勵學生畫畫，因為“圖形不夠嚴格”。這是一個嚴重的錯誤。誠然，圖形并不嚴格，但它們對思考是必不可少的幫助，任何人都不應拒斥任何能夠幫助他更好地思考的東西。

為什么？

做數學有很多理由，任何理解這一點的人都不大可能在讀下一頁之前要求證明數學的存在是合理的。數學美妙，激發思想，甚至有用。

我打算討論的主題大都來自純數學。純數學的目標不是實際應用，而是智力的滿足。在這方面，純數學類似于美術——幾乎沒有人會要求一幅畫應當有用。（與美術不同，數學一般承認批評標準。）但引人注目的是，純數學是有用的。我舉個例子。

在19世紀，數學家們花了大量時間精力來研究波動方程，也就是由弦或流體中的波的物理性質所產生的偏微分方程。盡管有物理上的起源，但這是一個純數學問題，沒有人能想到它對于波有什么實際用途。1864年，麥克斯韋提出了一些方程來描述電現象。對這些方程進行簡單的操作就能得到波動方程，這使麥克斯韋預言了電波的存在。1888年，赫茲在實驗室探測到了無線電波，從而用實驗確證了麥克斯韋的預言。1896年，馬可尼實現了首次無線電傳輸。

這一系列事件是純數學變得有用的典型方式。首先是純數學家為了好玩而擺弄某個問題；然后是理論家運用數學，但不試圖檢驗他的理論；接著是實驗科學家確證理論，但沒有發展出它的任何用途；最后是實干家把商品送至等候已久的世界。

在原子能、矩陣理論（用于工程學和經濟學）或積分方程的發展過程中，事件的順序也是如此。

讓我們看看時間尺度。從波動方程到馬可尼：150年。從微分幾何到原子彈：100年。從凱萊第一次使用矩陣到經濟學家使用矩陣：100年。積分方程用了30年時間才從被柯朗和希爾伯特變成一種有用的數學工具發展到在量子理論中變得有用，而又過了很多年，量子理論才有了實際應用。當時沒有人意識到，關于積分方程的數學會在一個世紀或更久之后被證明是不可或缺的！

這是否意味著，所有數學，無論現在看起來多么不重要，都應該得到鼓勵，因為它有些微的可能性在2075年成為物理學家們碰巧需要的東西？

波動方程、微分幾何、矩陣、積分方程，所有這些東西在第一次提出時就被認為是重要的數學。數學有一個相互關聯的結構，一個部分的發展常常會影響到其他部分：這便導致某些數學內容被認為是“核心”，而重要的問題就在這個核心。甚至連全新的方法也通過解決核心問題來證明其重要性。后來被證明有實際用途的數學大都來自這個核心區域。

數學直覺勝利了嗎？或者是否任何被認為不重要的數學都不會發展到可能有用的程度？我不知道。但可以肯定的是，被數學家一致認為瑣碎或不重要的數學將不會被證明是有用的。研究“廣義左擬堆”（generalizedleft pseudo-heaps）這樣晦澀而偏狹的理論絕不會把握未來的關鍵。

然而，一些非常漂亮和重要的數學在實踐中也被證明是無用的，因為現實世界并不是這樣運作的。某位理論物理學家基于非常一般的數學理由推導出了宇宙半徑公式，從而為自己贏得了很高的聲譽。這個公式令人印象深刻，其中夾雜著若干個e、c、h，此外還有幾個π和√s。作為理論家，他從未費心用數值求出它。幾年以后，才有人有足夠的好奇心將這些數值代進去，得出答案。

10厘米。

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[1]有人告訴我，在荷蘭語中恰恰盛行相反的用法：現在在數學中使用的“set”一詞，幾個世紀以來一直被翻譯成“collection”。

[2]參見W. Sierpinski, On the Congruence ofSets and Their Equivalence by Finite Decomposition, Lucknow UniversityPress, 1954；以及E. Kasner and J. Newman, Mathematics and the Imagination, Bell, 1949。

[3]要想得出多項式方程anxn+…+ a1x+a0=0

的根式解，我們必須找到一個關于系數a0、a1、……、an的求根公式，它只使用加法、減法、乘法、除法和開方運算。一個例子是二次方程ax2+bx+c=0的標準解，即

。

人們已經證明，一般五次方程不存在這樣的求根公式。證明是通過伽羅瓦理論完成的，讀者需要有良好的抽象代數基礎。詳情參見Galois Theory, E. Artin, Notre Dame, 1959；Introduction to Field Theory, I. T. Adamson, Oliver& Boyd, 1964；或Galois Theory, IanStewart, Chapman& Hall 1973。

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