大自然的隱秘技能：神奇的Fibonacci數列

看似呆板的數列中能呈現出炫彩的科學美感。不信?那就和中國科學院物理研究所曹則賢老師一起來了解下斐波那契數列的神奇幻化吧!

自然數是無窮多的。如果把一些數字按規律排成一排,就構成了一個數列。用函數表示就是數列 {an}。

如:偶數                   2,4,6,8……

奇數                   1,3,5,7……

三角數             1,3,6,10,15……

素數(原子)            2,3,5,7,11,13,17……

將數列的項依次用加號連接起來的函數就是級數。由傅里葉級數 (Fourier series)發展的傅里葉分析技術是最有力的數學、物理工具。別不相信,展開成本征函數級數就是量子力學的基本操作。

人類歷史中,意大利數學家斐波那契(Leonardo Fibonacci)是一個天才,年少時隨著父親在北非做生意,學習了阿拉伯數字。1202年,他撰寫了《Liber Abaci(算書)》一書,向西方傳播印度-阿拉伯的數字系統。

阿拉伯數字體系讓數學、物理學成為可能。數學、物理是就用阿拉伯數列、拉丁+希臘字母表示的,這是所有想要從事科學研究的人都必須掌握的一套話語體系!

在《Liber Abaci(算書)》一書中,斐波那契提出了一個有趣的問題:有一對成年兔子,每隔一個月就生一對小兔子,而小兔子一個月后也成年了加入生小兔子的行列,如果每對兔子都經歷這樣的出生、成熟、生育的過程,并且永遠不死,問N個月后有多少對兔子?我們不妨用樹狀圖展示一下:

用數列表示為:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…,數列中的每一項都被稱為斐波那契數,用符號Fn表示。F(0)=1,F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)(n ≥ 2,n ∈ N)。

這就是著名的斐波那契數列(Fibonacci數列),也叫做“兔子數列”。

雖然很有意思,但是,就這?斐波那契數列對人類發展有什么意義?

每一個數學、物理對象后面都有太多我們不知道、或者知道了也理解不了的內容。我們理解不了,科學家們卻能理解。

在數學中,楊輝三角形是出現在概率論、組合學和代數中的二項式系數的三角形數組。斐波那契數列與楊輝三角形(即,帕斯卡三角形)有關聯:楊輝三角形中的對角線之和,是斐波那契數,如圖所示。

1611年,著名天文學家開普勒在《Strena seu de Nive Sexangula (六角雪花) 》一書中指出:斐波那契數列收斂于黃金分割數:

當數列趨于無窮大時,斐波那契數列中的數字之比無限接近黃金分割比,即1.618033987498948482…。

黃金分割數暗藏玄機。無論是數學計算或者物理研究,總會不知道哪里就冷不丁冒出來黃金分割數。

按斐波那契數列,取邊長分別為1、1、2、3、5、8、13、21......的正方形,以各正方形的一個頂點為圓心畫出四分之一的曲線,再連接所有曲線,最后形成的螺旋線就是下圖所示的“斐波那契螺旋線”。

黃金分割數是美學的重要基礎。人們根據黃金分割數進行建筑設計、藝術雕塑。從古至今,許多神秘建筑都遵循著黃金分割的規律,比如金字塔的斜面三角形高與底面半邊長之比。美神維納斯雕塑就是黃金分割數的完美展示。藝術家不用太懂數學,但不懂黃金分割數就成不了合格的藝術家。

人們在各個領域都發現了斐波那契數列。生活中最典型的斐波那契數列應用是在植物學中。人類在觀察大自然時發現:樹木生長的過程中會長出分枝,如果我們從下到上去數分枝的個數,就會發現依次是1、1、2、3、5、8、13…,剛好是斐波那契數列。大自然的花朵各有各的美麗,但幾乎每朵花瓣的總數都會選擇斐波那契數列的數字:3,5,8,13……

植物學中的葉序也完全符合斐波那契數列。葉序學就是一門研究植物上的植物學單元(器官)排列的學問。植物的葉子排列呈螺旋式向上,不同植物的葉序周均呈現斐波那契數列的排列規律。

植物學中,斐波那契斜列螺旋也十分常見。斐波那契斜列螺旋既可以看作一組逆時針螺旋,也可以看作是一組順時針螺線,這兩種情形下的螺旋數目是斐波那契數列中的相鄰兩數。我們熟悉的向日葵花盤、松果種子、菠蘿上的鱗片都完美符合這一特性。

有科學家推測,斐波那契斜列螺旋是圓錐面上全同單元的密堆積,這樣有利于植物種子堆積、繁衍后代。所以,大自然中蘊含著無窮的奧秘,要學會用數學、物理的眼光去看她。洞察自然的奧秘,是人類對自然的禮贊。

800多年過去了,神奇的斐波那契數列不斷被人類驗證,更被廣泛運用到了計算機、物理、化學等領域,讓這個古老的數列煥發了新的青春。

計算機編程中,在很多C語言教科書中講到遞歸函數的時候,都會用斐波那契數列作為例子。斐波那契數列還被納入到了從小學到大學各個階段的數學課程。

現代物理學中,依據斐波那契數列,可以計算出黃金分割數、白銀分割數、白金分割數的三維物理空間的準周期。量子力學中,兩粒子糾纏態、量子臨界點研究也離不開斐波那契數列。

化學領域,無機材料用應力工程再現了斐波那契數列斜列螺旋的奧妙。斐波那契數列還被廣泛運用到了股市中,用以揭示股票漲落的奧秘……

由中國下一代教育基金會,深圳市平安公益基金會,科技日報社聯合策劃出品的“神奇的Fibonacci數列”系列科普視頻,旨在引導青少年于大自然中探尋數學之美,于學科知識中培養科學精神,激發青少年的科學探究意識和創新精神。

系列視頻內容將于2022年2月23日在科技日報矩陣號、中國科技網、科普中國、騰訊視頻、西瓜視頻、B站、百度百家號、微博泛知識、青少年科技素養提升計劃公眾號等多個平臺同步上線,記得關注我們了解更多關于神奇數列的內容哦!

更多精彩:大自然的隱秘技能:神奇的Fibonacci數列

免責聲明：市場有風險，選擇需謹慎！此文僅供參考，不作買賣依據。

標簽： Fibonacci